Dwa niedziele
Każda liczba dzieli się przez coś bez reszty, czyli ma dzielniki. Im więcej, tym lepiej – tak uważali starożytni Grecy ze względów praktycznych – i nic w tym dziwnego, bo przecież łatwiej podzielić po równo 24 jaja niż 23. Platon zalecał, aby liczba mieszkańców miast miała jak najwięcej dzielników, a jako ideał podawał 5040.
Każda liczba całkowita dodatnia a dzieli się przez 1, przez a oraz ewentualnie przez n różnych liczb k1, k2,…, kn (1<ki<a). 1 i a to dzielniki trywialne, ki – nietrywialne, a 1 i ki – właściwe. Jeśli liczba ma tylko dzielniki trywialne, czyli n = 0, to jest pierwsza; gdy n>0, jest złożona; dla n = 1 mamy kwadrat liczby pierwszej, dla n = 2 – sześcian liczby pierwszej lub liczbę półpierwszą.
Wśród dzielników właściwych d można jeszcze wyróżnić unitarne, czyli takie, dla których d i n/d są względnie pierwsze. Dla a = 24 dzielnikami unitarnymi będą więc 1, 3 i 8.
Co pozostanie, jeśli spośród liczb nie większych niż a usuniemy dzielniki liczby a? Oczywiście niedzielniki a. Każda liczba pierwsza p ma p – 2 niedzielniki, w przypadku liczb złożonych sprawa jest znacznie bardziej… złożona.
Wśród niedzielników danej liczby są takie – nazwijmy je niedzielami („niedziel” jest rodzaju męskiego) – które nie dzielą jej możliwie najlepiej. Jak rozumieć to, że jedno niedzielenie może być lepsze (mocniejsze, bardziej wyraziste) niż inne? – oto zagadka do rozwiązania na przykładzie.
Pozostajemy przy 24. Liczba ta ma 16 niedzielników: 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23. Tylko dwa z nich są niedzielami. Jakie, jeśli wiadomo, że liczba 23 ma pięć niedzieli: 2, 3, 5, 9, 15?
Niedziele nie są moim pomysłem. To mało znane – oczywiście pod inną nazwą – pojęcie matematyczne. Ciekawe, czy ktoś poda właściwe określenie.
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.
Komentarze
7 i 16 to niedziele liczby 24.
Niech Y będzie niedzielnikiem liczby X, a k liczbą naturalną taką, że kY<X<(k+1)Y. Y będzie niedzielem gdy wyrażenie [ (X – kY) – ( (k+1)Y – X ) ] jest równe 0, 1 lub -1.
Ujmując rzecz opisowo: Y jest niedzielem X gdy X znajduje się w mniej-więcej równej odległości między dwiema obejmującymi ją krotnościami liczby Y.
Podejrzewam, że o to chodziło. 😉
Właściwego pojęcia matematycznego nie odnalazłem. W trakcie poszukiwań zdołałem się tylko zorientować, że niedzielnik to po angielsku aliquant i jest to rzadko używane słowo.
Przypuszczam ze chodzi o 7 i 16, bo w przypadku tych liczb niedzielenie jest najdalsze od podzielenia. Dla 7 do podzielenia doszlo by, gdyby zamiast 24 bylo 21lub 28, czyli odleglosc wynosi 3 lub 4 (wieksza byc nie moze, bo dla innych dzielnikow z jednej lub z drugiej strony bedzie mniejsza). Dla 16 max. odleglosci sa rowne i wynosza 24-16=32-24=8.
a
Niedziele 24 to 7 i 16.
Odgadnięta definicja:
n jest niedzielem m jeśli wartość bezwzględna z m modulo n minus n/2 jest mniejsza od 1.
Nie mam pojęcia jaka jest oryginalna nazwa niedziela