Pestki na orzechy

We wpisie z 29 lipca znalazła się następująca pestka:

Spośród liczb:
5, 6, 7, 8, 9, 10
wybrano dwie takie, że:
– różnica ich kwadratów jest sześcianem,
– różnica ich sześcianów jest kwadratem.
Jakie to liczby?

Zadanie jest prostą wyliczanką i ciekawostką liczbowo-retoryczną (sformułowanie dwóch warunków kojarzy się z anastrofą). Jak słusznie zauważył Michał, drugiego warunku mogłoby nie być, ale wtedy nie byłoby ciekawostki. Do niej właśnie nawiązał Esteon, sugerując przerobienie pestki na orzech:
„Ciekawe, na ile to zadanie jest rozwiązywalne w pełnej ogólności, tj. w liczbach naturalnych”.

Chodziłoby więc o szukanie par liczb, których kwadraty różnią się o sześcian, a sześciany o kwadrat, czyli wzorowo:

x^2 – y^2 = a^3
x^3 – y^3 = b^2

Mamy więc układ dwóch równań diofantycznych trzeciego stopnia z czterema niewiadomymi, który jest ciekawy, ale jednak – że tak powiem – rozrywkowy inaczej. Można by próbować przekształcać równania, aby dojść do czegoś „strawnego”, zaczynając np. od wzorów skróconego mnożenia:

(x – y)(x + y) = a^3
(x – y)(x^2 + xy + y^2) = b^2

Dalsza obróbka byłaby jednak tak żmudna, wymagająca wprowadzania tylu podstawień i prowadząca do tak kobylastych wzorów, że ja dziękuję. Prościej i skuteczniej zatrudnić komputer.
Najmniejsza para – (I)[10, 6] – jest rozwiązaniem pestki. Dalej mamy nieskończony ciąg takich par. Oto cztery kolejne:
(II)[640, 384],  (III)[7290, 4374],  (IV)[8954, 5687],  (V)[70434, 64350], …
Dalszych nie znam. Gdyby ktoś poznał, wdzięczny będę za podzielenie się odkryciem. A przy okazji prośba o odpowiedź na pytanie o jeszcze jedną potencjalną ciekawostkę:
Suma i/lub różnica liczb tworzących każdą z pięciu pierwszych par jest kwadratem (dla pierwszych trzech par jest „i„, dla dwóch następnych – „lub„). Czy ta własność jest regułą dla wszystkich par?

Drugą pestkę – tym razem z wpisu z 10 sierpnia – sam zmieniłem w orzech. W łatwym wcieleniu brzmiała tak:
Jeśli do kółek wpisać dziewięć różnych cyfr (od 1 do 9) tak, aby suma czterech liczb na każdym boku trójkąta wynosiła 17, to jakie cyfry znajdą się w narożnych kółkach?

Rozwiązuje się błyskawicznie, bo 51 – 45 = 6 = 1 +2 + 3.
A oto efekt przeróbki, czyli pytanie orzechowe:
Jeśli do kółek wpisać dziewięć różnych cyfr (od 1 do 9) tak, aby suma kwadratów czterech liczb na każdym boku trójkąta była taka sama, to jakie cyfry znajdą się w narożnych kółkach?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.