Gorzkie pućki
Bywalcy sklepów dla smakoszy zapewne zauważyli, że pojawiły się w nich pućki, dostępne w puszkach po 6, 9 lub 20 sztuk. Poza wyjątkami nie sposób jednak kupić dowolnej ich liczby, bo sprzedawcy bardzo niechętnie otwierają puszki. Trudno się im dziwić, ponieważ pućki w otwartej puszce szybko gorzknieją. Można więc kupić tylko tyle pućków, ile ich będzie w dowolnym zestawie puszek. Kto chce 12 sztuk, bierze dwie małe puszki, kto ma ochotę na 26 – małą i dużą, a prosząc o 30, możemy wybierać – pięć małych puszek albo dwie małe i dwie średnie itd.
Protesty klientów, którzy nie mogą nabyć np. 13 lub 25 pućków, są w tej sytuacji nieuzasadnione, bo żadna kombinacja 6, 9 i 20 nie da ani 13, ani 25.
Jaka jest największa liczba pućków, której nie można kupić? Proszę pamiętać o założeniu, że w zakupionych puszkach musi zawsze znajdować się dokładnie tyle pućków, ile ich chcemy nabyć.
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.
Komentarze
Wśród liczb podzielnych przez 3 nie ma co szukać, bo każda liczba podzielna przez 3 za wyjątkiem 3 da się przedstawić w postaci sumy szóstek i dziewiątek. Liczby niepodzielne przez 3 można wykorzystując 20 sprowadzić od liczb podzielnych przez 3 w co najwyżej dwóch krokach. Dlatego trzeba szukać liczby, którą aby sprowadzić do liczby podzielnej przez 3, ale takiej, której nie można uzyskać za pomocą szóstki i dziewiątki (czyli 3) potrzeba dwóch użyć 20. Tą liczbą jest oczywiście 43.
Każdą większą liczbę pućków można kupić. Najpierw bierzemy opakowania po 20, aż pozostanie nam do kupienia liczba pućków podzielna przez 3. Następnie bierzemy pudełka po 6 pućków, aż otrzymamy liczbę pućków podzielną przez 9 (być może żadnego nie trzeba będzie kupować), a następnie kupujemy pudełka z 9 pućkami.
43
Największą liczbą, której nie udało mi się utworzyć to 43. Później utworzyłem wszystkie liczby aż do 100, które po odpowiednim sumowaniu pozwolą otrzymać dowolną większą od 100 liczbę.
Zauważmy, że gdy chcemy kupić n puciek, przy czym n = 0 (mod 3) i n>3, to możemy je kupić używając jedynie puszek małych i średnich.
Wynika z tego, że jeśli chcemy kupić n puciek przy czym n = 2 (mod 3) i n>23, to możemy wziąć 20 puciek w dużej puszce oraz n-20 puciek w puszkach małych i średnich (uda nam się, bo n-20 jest podzielne przez 3).
Wreszcie gdy chcemy kupić n puciek i n = 1 (mod 3) i n>43 , to bierzemy dwie duże puszki oraz n-40 puciek w puszkach małych i średnich (n-40=0 (mod 3)).
Jeśli więc n>43, to nie ma problemów, zaś dla n=43, jak by nie kombinować, nie wychodzi.
Pozdrawiam
Michał
43
Nasunął mi się ogólniejszy problem, który można łatwo (jak się okazało) rozwiązać: czy dla każdej liczby naturalnej n większej od zera, istnieje skończony zestaw typów puszek pućków taki, że n jest największą liczbą pućków, których nie można kupić bez otwierania puszek?
Pokusiłem się o sformułowanie dowodu na to, że szukana liczba to 43 i większa być nie może.
Zbiór liczb naturalnych można podzielić na sześć odrębnych zbiorów liczb o postaci:
6k, 6k-1, 6k-2, 6k-3, 6k-4 oraz 6k-5 (gdzie k to liczba naturalna).
Jeśli liczba pućków, które chcemy kupić jest postaci:
6k : łatwo sobie poradzimy kupując k małych puszek,
6k-1 = 6(k-5)+20+9 : kupując (k-5) małych puszek, jedną dużą i jedną średnią,
6k-2 = 6(k-7)+20*2 : kupując (k-7) małych puszek i dwie duże,
6k-3 = 6(k-2)+9 : kupując (k-2) małych puszek i jedną średnią,
6k-4 = 6(k-4)+20 : kupując (k-4) małych puszek i jedną dużą,
6k-5 = 6(k-9)+20*2+9 : kupując (k-9) małych puszek, dwie duże i jedną średnią.
Z powyższego zestawienia łatwo zobaczyć jakie ilości pućków są nieosiągalne
(np. nieosiągalne są wszystkie ilości postaci 6k-1 gdy k < 5, czyli 23, 17, 11, 5).
Można wypisać sobie wszystkie liczby nieosiągalne i wybrać największą albo np. zwrócić uwagę, że największą spośród najmniejszych liczb należących do sześciu wymienionych zbiorów i dających się wyrazić sumą szóstek, dziewiątek i dwudziestek, jest liczba 49. Liczby mniejszej od niej o 6, nie da się już tak wyrazić.
Dlatego odpowiedź brzmi:
Największą ilością pućków niemożliwą do kupienia jest 43. Powyżej tej ilości da się już kupić każdą ilość pućków.
Kazda liczba pierwsza spelnia warunek ilosci puckow, ktorej nie mozna kupic, wedlug zasad autora. Wiec najwieksza liczba, to – nieskonczonosc. W rzeczywistosci trzeba byloby znac ilosc puszek puckow na rynku zeby to wyliczyc.
Werbalista: tu trzeba dodawać a nie mnożyć, np. 29=20+9; jest liczbą pierwszą, a mogę ją ‚mieć’ kupując pudełko 20-to i 9-cio pućkowe.
Werbalisto: Czy 29 jest liczbą pierwszą? A jest to przecież 20+9 czyli duza i średnia puszka pućków
Kupic mozna kazda liczbe puckow wieksza niz 43, a 43 – nie.
a
@ Wiaz @ Michal S.
Macie racje. Moj blad logiczno-matematyczny. Bije sie w piersi.
Wzor na liczbe puckow mozliwych do kupienia chyba bylby n6 + n9 + n20. Wystarczy dodac + 1, zeby otrzymac liczbe niemozliwa do kupienia. W dalszym ciagu wychodzi mi nieskonczonosc.
Pozdrawiam.
Werbalisto, dziś wieczorem ujawnię komentarze z eleganckimi rozwiązaniami – i wszystko będzie jasne.
mp
Werbalista: przecież nie trzeba kupować po ‚n’ czyli tyle samo każdego rodzaju?
Plus jeden nie oznacza, że nie można tego kupić, oto przykład pierwszy z brzegu, dla Twoich założeń (na przykład n=2):
2*(6+9+20) + 1 = 36
kupuję więc:
1) 6 opakowań po 6 sztuk, albo
2) 4 po 9, albo
3) 2 po 9 i 3 po 6 sztuk,
według uznania.
P.S. n=1 🙂
Największa parzysta: 28
Największa nieparzysta: 28 +9 = 37
U mnie nie można kupić żadnej ilości. Pytałem w wielu sklepach ale w Nowym Sączu pucków nie sprzedają. Panie Marku, gdzie to można kupić ???
😉
mp