Kwartecik

2 stycznia 2011
Marek Penszko

Ponieważ podoba nam się maksyma Pascala „większość nieszczęść bierze się stąd, że ludzie za mało siedzą w domu” oraz cenimy sobie z żoną święty spokój, więc sylwestra spędzamy w gniazdku rodzinnym, ograniczając kontakty ze światem do internetowo-komórkowych dla zachowania przyzwoitości. Każde z nas pogania swojego konika – żona decoupage, a ja wiadomo – z krótką przerwą na przywitanie bobasa 2011. A bobas jak zwykle kusi, aby nad nim pogłówkować – tym razem szczególnie, bo takiego roku za czasów Łamiblogu jeszcze nie było.

Rok pierwszy nam bowiem nastał, czyli ochrzczony liczbą, która nie dzieli się przez nic poza jedynką i sobą samą. Jednak, ogólnie rzecz biorąc, to nie pierwszyzna. Natomiast prawdziwy unikat jest taki, że rok 2011 kończy kwartet lat wyrażających się kolejnymi liczbami pierwszymi (1997-1999-2003-2011), jakiego dotąd w dziejach nie było. Niezwykłość polega na tym, że kolejne odstępy w owym kwartecie są kolejnymi potęgami dwójki [2^n (n = 1, 2, 3)]. Następny taki kwartet zacznie się w roku 2237 i będzie równocześnie należał do pierwszego w dziejach analogicznego kwintetu [2237-(2)-2239-(4)-2243-(8)-2251-(16)-2267]. Pożyjemy – zobaczymy, czy ten kwintet zagra nam lepiej, niż kwartet, którego występ dobiega końca.

Co jeszcze osobliwego matematycznie skrywa tegoroczna liczba?
Jeśli dodamy tworzące ją cyfry, otrzymamy kwadrat, ale to słaba osobliwość. Nieco mocniejsza jest taka, że suma cyfr równa jest liczbie cyfr. W ciągu takich liczb (1, 11, 20, 102, 111, 120, 201, 210…) 2011 zajmuje miejsce 21.
Wracając do liczb pierwszych, 2011 jest sumą jedenastu kolejnych. Szukanie tej doborowej jedenastki byłoby mało zachęcającą łamigłówką, więc podaję: 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 = 2011
A teraz proponuję sięgnąć po kalkulator, wpisać doń 2011 – ale wspak, czyli 1102 – i podnieść do kwadratu. Wynik po zapisaniu lub zapamiętaniu należy wprowadzić do okienka – ale także wspak – i wyciągnąć pierwiastek. Kto się nie domyśla, co się pojawi, będzie zapewne trochę zaskoczony.

Niestety, więcej nic niezwykłego nie udało mi się wymyśleć, ani wyszperać poza mało matematycznymi i jeszcze mniej optymistycznymi przepowiedniami. Jak zwykle więc możemy spodziewać się w nadchodzącym roku końca świata. Tym razem złowieszczą przede wszystkim filmy. W serialu Terminator: Kroniki Sary Connor dzień Sądu Ostatecznego nastąpi (w serialu nastąpił) w kwietniu, natomiast według filmu i serialu Aeon Flux 99 procent ludzkości padnie w tym roku ofiarą tajemniczego wirusa.
Znany w Stanach Zjednoczonych kaznodzieja Harold Camping z Radia Rodzinnego w Kalifornii twierdzi, że odkrył szyfr matematyczny, umożliwiający odczytanie niektórych przepowiedni ukrytych w Biblii. Wynika z nich, że końca świata należy się podziewać 21 maja. Być może tę niespodziankę zafunduje nam gigantyczna planetoida, która ma walnąć w Portugalię (to według jednej z książek s-f z serii Remnants, autorstwa pisarki amerykańskiej K. A. Applegate).

Nie pozostaje mi nic innego, jak życzyć Państwu miłej apokalipsy w nowym roku i zaproponować powrót do kwartetu lat pierwszych:
1997, 1999, 2003, 2011.
Czy i które z tych liczb można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów? I jaka będzie (jeśli będzie) para kwadratów w przypadku konkretnych liczb?

Kto wie, jaki warunek powinna spełniać liczba pierwsza, aby była sumą dwóch kwadratów, dla tego odpowiedź na pierwsze pytanie jest trywialna. Pozostali mogą mieć zgryz z kwadratami, ale jeśli trochę pogłówkować, to kłopot okaże się niewielki.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.