Jej kwadratowość

5 października 2010
Marek Penszko

Czy jakaś duża liczba naturalna, na przykład 2172602007770049, jest podzielna przez 2 lub przez 5? Trywialne pytanie. A przez 3 lub przez 7? Też proste – wystarczą szkolne rachunki przy korzystaniu z cech podzielności. A czy jest kwadratem? I tu, niestety, zaczynają się schody, bo nie ma cech „kwadratowości”. Znamy jednak cechy „niekwadratowości”, więc konkretna odpowiedź na postawione pytanie może brzmieć „nie”. Dotrzeć na skróty do „tak” się nie da, czyli, niestety, trzeba pierwiastkować – na piechotę (mało kto potrafi, choć za moich czasów było na lekcjach arytmetyki; czy jest teraz – nie wiem) lub przy pomocy odpowiedniego kalkulatora, który łyknie liczbę-giganta. Z drugiej jednak strony, nawet jeśli nie padnie odpowiedź „nie”, to prawdopodobieństwo „tak-a” może być bardzo bliskie pewności (prawie 99 %) i łatwe do osiągnięcia – o ile skorzystamy z odpowiednich cech „niekwadratowości”.

Jedna  cecha jest powszechnie znana: gdy ostatnią cyfrą liczby jest 2, 3, 7 lub 8, to kwadrat odpada. Rzadziej korzysta się z dwucyfrowej końcówki; w przypadku kwadratu powinna to być jedna z 22 następujących : 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96. Prawdopodobieństwo, że przez taki test prześlizgnie się jakiś nie-kwadrat, wynosi więc 22 %.

Inna cecha na „nie” wiąże się z tzw. pierwiastkiem cyfrowym (digital root), u nas zwanym częściej ostateczną sumą cyfr. Trzeba dodać wszystkie cyfry podejrzanej liczby, potem zsumować cyfry otrzymanej sumy, i jeszcze raz to samo, i znowu itd. – dotąd, aż pojawi się jednocyfrowa suma. Jeśli nie będzie ona równa 1, 4, 7 lub 9, to testowana liczba na pewno nie jest kwadratem. Po bezskutecznym zastosowaniu obu powyższych sprawdzianów oraz po skorzystaniu z wzoru Bayesa okaże się, że będziemy mieli już ponad 91% pewności, że testowana liczba jest kwadratem.

Pewność wzrośnie do blisko 99 % w następnym wpisie wraz z kolejnymi sprawdzianami, a właściwie tylko jednym, ale jakby potrójnym. Tymczasem jednak pora na zadanie.

Proszę znaleźć sześciocyfrowy kwadrat bez zera, w którym każda następna cyfra jest większa od poprzedniej.

Oczywiście nie szukamy w tablicach, tylko w głowie – myśląc logicznie i trochę kombinując. Tak będzie szybciej i przyjemniej. No i nie zaszkodzi skorzystać z podanych wyżej cech „niekwadratowości”.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.