Kwadratowo

Wspominałem już w paru miejscach (w minionym roku w Łamiblogu, a ostatnio w artykule „Miliony za myślenie” w numerze specjalnym Wiedzy i Życia) o nagrodzie, czekającej na tego, kto ułoży kwadrat magiczny 3×3 złożony z kwadratów, czyli coś takiego:

 

Dla porządku przypominam, że sumy trójek liczb (w tym przypadku kwadratów liczb) w każdym rzędzie, czyli w każdym wierszu, kolumnie i na obu przekątnych, powinny być takie same.

Nagroda jest więcej niż skromna – 100 $ + 100 euro + butelka szampana – ale lepszy rydz… Poza tym pieniążki czekają na kontach i procentują od lat trzynastu (dolary) i pięciu (euro), więc pula pewnie już się podwoiła. Szampan też chyba (?) im starszy, tym lepszy.
Dolarami sypnął sam Martin Gardner, euro i szampanem (chlusnął) – matematyk francuski Christian Boyer za na pozór prostsze zadanie: wystarczy, że kwadratami będzie tylko siedem z dziewięciu liczb. Jeden kwadrat w wersji Boyera znaleziony przed ufundowaniem nagrody, wygląda tak:

 

Euro i szampan otrzyma znalazca drugiego, ale całkiem innego kwadratu, czyli takiego, który nie będzie jakimś przekształceniem powyższego. Warto dodać, że na nagrody zasłuży także ten, kto udowodni, że jedno lub drugie zadanie jest niewykonalne.

Kilka dni temu Robim64 napisał w komentarzu pod poprzednim wpisem na ten temat, że znalazł drugi kwadrat. Oniemiałem z wrażenia, bo prędzej spodziewałbym się 100-procentowej frekwencji w eurowyborach. Okazało się, niestety, że nowy kwadrat jest dość prostym przekształceniem starego: podstawa każdej drugiej potęgi jest podwojona, a dwie liczby, które nie są kwadratami, pomnożone są przez cztery, czyli suma magiczna jest czterokrotnie większa (2 167 500).

Istnieje też drugie uproszczenie zadania Gardnera, które można by nazwać wersją Sallowsa (Lee Sallows – informatyk holenderski z uniwersytetu w Nijmegen): kwadratami powinny być wszystkie liczby, ale w jednym z ośmiu rzędów suma trzech liczb może nie być magiczna. Ta wersja wydaje się bliższa ideału, bo magicznych jest siedem sum z ośmiu, a w wersji Boyera kwadratami jest siedem liczb z dziewięciu. Sallows znalazł jeden taki kwadrat („zakałą” jest suma na przekątnej łączącej lewy górny róg z prawym dolnym – 38307, pozostałe równe są 21609):

 

Za znalezienie drugiego takiego kwadratu nie ma nagrody, więc szukają tylko wolontariusze. Jak dotąd też bezskutecznie.

Jako zadanie domowe proponuję spróbować „ukwadratowić” jedyny klasyczny kwadrat magiczny 3×3, znany od paru tysięcy lat:

 

Jeśli wszystkie liczby podniesiemy do kwadratu, to magia oczywiście zniknie:

 

Ale nie do końca, czyli nie powstał tzw. kwadrat antymagiczny (osiem różnych sum), bo w dwóch wierszach sumy są takie same (101) i w dwóch kolumnach również, choć inne niż w wierszach (89).

Czy można zwiększyć magiczność tego kwadratu, czyli przestawić liczby tak, aby równe sumy były w więcej niż dwóch rzędach? A jeżeli tak, to w ilu najwięcej? A jeżeli nie, to dlaczego?