Pi kwadrat
Dwa święta liczbowe – Dzień Pierwiastka Kwadratowego (03.03) i Dzień Liczby Pi (14.03) – zbliżyły się do siebie w tym roku na niebezpiecznie małą odległość. Omal nie doszło do zderzenia… Taka bliskość zdarza się raz na tysiąc lat.
Zapewne gdyby nie amerykański zapis dat (najpierw miesiąc, potem dzień) 14 marca nie stałby się dniem obchodów, zorganizowanych po raz pierwszy 21 lat temu. Dziś uroczyście bywa nie tylko za oceanem. Nawet na Uniwersytecie Śląskim piją, śpiewają i popisują się wiedzą – już po raz trzeci.
Stosunek długości obwodu koła do jego średnicy chyba rzeczywiście jest liczbą na tyle niezwykłą – niewymierną oraz transcendentną, czyli przestępną – że na święto zasługuje. Liczba ta nie może być rozwiązaniem żadnego równania algebraicznego o wymiernych współczynnikach i nie sposób przedstawić jej w postaci ułamka zwykłego z liczbami całkowitymi w liczniku i mianowniku, czyli ciąg cyfr po przecinku nie dość, że nie ma końca, jest jeszcze na dodatek niecykliczny – oto główne pi-osobliwości.
Podziw z domieszką współczucia mogą budzić niektóre informacje dotyczące obliczania wartości pi „na piechotę” – z dużą dokładnością – w czasach przedkomputerowych. XIX-wieczny angielski matematyk amator William Shanks liczył przez 20 lat i dojechał do 707. cyfry po przecinku. Niestety, jak się później okazało, przez mniej więcej pięć lat odwalał kawał nikomu niepotrzebnej roboty, ponieważ pomylił się na 528 cyfrze.
Dziś liczba znanych cyfr po przecinku sięga kwadryliona, a matematycy buszują w tym niekończącym się wężu, polując na prawidłowości, zależności i osobliwości.
Znanych jest wiele prostych ułamkowych wzorów na przybliżoną wartość pi, zaczynając od podanego przez Archimedesa – 22/7, który prowadzi do popularnego 3,14 z hakiem. Lepszą dokładność – do 6. cyfry po przecinku – zapewnia ułamek 355/133 113, odkryty w Chinach w V wieku. Wraz ze wzrostem wartości licznika i mianownika precyzja jest coraz większa. Na przykład do 31 cyfry po przecinku dotrzemy dzieląc 428.224.593.349.304 przez 136.308.121.570.117, czyli wynik będzie równy 3,1415926535897932384626433832795. Pozostaniemy na tej dokładności, ponieważ jako 32. cyfra pojawia się pierwsze zero, które nie pasowałoby do poniższej łamigłówki.
Do pól kwadratu 3×3 wpisujemy dziewięć różnych cyfr – od 1 do 9. Na polu z trójką stawiamy króla szachowego i rozpoczynamy wędrówkę figurą, zapisując w rządku cyfry na kolejno odwiedzanych polach. Zadanie polega na takim początkowym rozmieszczeniu cyfr w diagramie, aby rządek stanowił jak najdłuższe rozwinięcie liczby pi.
Poniżej przykład taki sobie, bo umożliwiający dojechanie tylko do dwunastej cyfry.
W Dniu Liczby Pi przypada także rocznica urodzin Alberta Einsteina. W tym roku okrągła. Która – łatwo sprawdzić.
Komentarze
do 16 miejsc:
146
352
798
Moja wersja do piętnastej cyfry:
3,141592653589793:
6 4 1
1 5 3
7 9 8
Przepraszam:
6 4 1
2 5 3
7 9 8
W rozwinięciu liczby pi do 31 miejsc po przecinku cyfra 3 występuje najczęściej, bo aż 7 razy i ma przy tym 6 różnych sąsiadów (nie licząc samej siebie). Jeżeli rządek cyfr miałby być tak długi jak to rozwinięcie to najlepiej pasowało by umieścić cyfrę 3 w samym środku kwadratu, bo tylko środkowe pole kwadratu może posiadać 6 sąsiadów. Liczbę sąsiadów na konkretnych polach przedstawia poniższy schemat.
3 5 3
5 8 5
3 5 3
Ewentualnie innymi odpowiednimi polami dla cyfry 3 są pola w środkowej kolumnie i środkowym wierszu kwadratu.
Kolejnymi najliczniejszymi cyframi są 5 i 9, ponieważ występują po 4 razy mając równo po 5 sąsiadów, oraz cyfra 2 z 4 sąsiadami. Są też oczywiście inne cyfry z 4 sąsiadami jak 4 i 8, które występują 3 krotnie w danym rozwinięciu, a liczba wystąpień jest mało istotna dla rozmieszczenia cyfr, bo bardziej nas interesuje liczba sąsiadów, więc cyfry 4 i 8 są tak samo istotne dla zadania jak cyfra 2.
Tych wszystkich powyższych istotnych cyfr jest razem 6 (2,3,4,5,8,9), a odpowiednich dla nich miejsc tylko 5, więc jedna będzie musiała zająć mniej dogodne miejsce z 3 sąsiadami.
Biorąc pod uwagę, że możliwe jest iż nie uda się osiągnąć długości rządku cyfr równej rozwinięciu liczby pi do 31 miejsc po przecinku, mniej dogodne miejsce dla jednej z istotniejszych cyfr jest dopuszczalne.
Tak samo cyfra 3 nie musi zająć środkowego pola kwadratu, lecz któreś z tych z 5 sąsiadami.
Cyfra 1 występuje tylko na początku rozwinięcia i to 2 razy przy 3 różnych sąsiadach. Z tego powodu można ją umieścić jako pierwszą. Odpowiednim miejscem dla niej będzie jeden z 4 rogów kwadratu.
Pełny uzupełniony kwadrat będący rozwiązaniem zadania można odbijać lustrzanie w pionie i poziomie oraz lewoskośnie i prawoskośnie. Łącząc te operacje można tworzyć dodatkowe nowe rozwiązania uzyskując łącznie 8 różnych poprawnych rozwiązań. Skupimy się na takim w którym cyfra 1 występuje w lewym górnym polu kwadratu.
1 ? ?
? ? ?
? ? ?
Sąsiadami tej cyfry muszą być cyfry 3, 4 i 5 z czego wszystkie należą do wcześniej ustalonych istotnych cyfr a cyfra 3 nie koniecznie musi zająć środkowe pole.
1 z ?
z z ?
? ? ?
litera „z” oznacza zajęte pole przez jedną z cyfr – 3, 4 lub 5
Dobrze jest skupić się na rozmieszczeniu cyfry 5 gdyż jest ostatnim w kolejce sąsiadem cyfry 1. W dodatku w rządku kolejnych cyfr 5 9 2 6 5 3 cyfra 5 ma 2 istotnych sąsiadów 9 i 3 oraz po drodze istotną cyfrę 2, którą także należałoby umieścić w dogodnym dla niej miejscu. Po uwzględnieniu zajęcia pól przez sąsiadów cyfry 1 oraz dużą liczbę istotnych sąsiadów cyfry 5 dobrze jest umieścić tę cyfrę w środkowym polu kwadratu. Cyfry 3 i 4 ustawiamy w dowolne pozostałe pola (zasada odbicia lustrzanego!)
1 3 ?
4 5 z
? z ?
litera „z” oznacza zajęte pole przez jedną z cyfr – 2 lub 9
To, które pole zajmie cyfra 6 zależy między innymi od rozmieszczenia cyfr 2 i 9. Dalsze rozwinięcie liczby pi po powrocie figury króla na pole z cyfrą 5 z wędrówki po ciągu cyfr 5 9 2 6 5 3 5 to będą cyfry 8 9 7 9 3 2 3. Widać, że cyfra 9 występuje jeszcze 2 razy przed cyfrą 2, więc jest ważniejsza do rozmieszczenia. Ma ona nowych sąsiadów 7 i 8 oraz ustawioną już w kwadracie cyfrę 3. Nowi sąsiedzi 7 i 8 potrzebują nowych pól do zajęcia, a sąsiedztwo z cyfrą 3 oznacza to, że jest tylko jedno dobre pole dla cyfry 9.
Automatycznie cyfra 2 zajmuje drugie z wcześniej zajętych pól a cyfra 6 musi oddalić się od cyfry 9 aby dać wolne miejsca dla nowych sąsiadów cyfry 9, czyli dla cyfr 7 i 8.
1 3 z
4 5 9
6 2 z
litera „z” oznacza zajęte pole przez jedną z cyfr – 7 lub 8
Niestety z pola z cyfrą 3 figura króla nie może się już dostać na pole z cyfrą 2 i tu zabawa się już kończy. Tym samym nie zostały określone konkretne położenia cyfr 7 i 8 co daje 2 różne rozwiązania.
1 3 7 1 3 8
4 5 9 oraz 4 5 9
6 2 8 6 2 7
Przy uwzględnianiu odbić lustrzanych istnieje 8 różnych rozwiązań, z których każde ma po 2 powstałe poprzez zamianę miejscami cyfr 7 i 8.
Takich rozwiązań jest łącznie 2×8 = 16.
8 9 7 | 7 9 8 7 9 8 | 8 9 7
2 5 3 | 3 5 2 2 5 3 | 3 5 2
6 4 1 / | \ 1 4 6 6 4 1 / | \ 1 4 6
/ 1 3 7 | 7 3 1 \ / 1 3 8 | 8 3 1 \
/ 4 5 9 | 9 5 4 \ / 4 5 9 | 9 5 4 \
6 2 8 | 8 2 6 6 2 7 | 7 2 6
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ oraz _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6 2 8 | 8 2 6 6 2 7 | 7 2 6
\ 4 5 9 | 9 5 4 / \ 4 5 9 | 9 5 4 /
\ 1 3 7 | 7 3 1 / \ 1 3 8 | 8 3 1 /
6 4 1 \ | / 1 4 6 6 4 1 \ | / 1 4 6
2 5 3 | 3 5 2 2 5 3 | 3 5 2
8 9 7 | 7 9 8 7 9 8 | 8 9 7
Takie rozwiązania dają następujący rządek cyfr 3,141592653589793 co jest rozwinięciem liczby pi do 15 miejsca po przecinku.
Poprawka wizualna do mojego komentarza
(…)
1 3 7 . . . . . . . . 1 3 8
4 5 9 . . oraz . . 4 5 9
6 2 8 . . . . . . . . 6 2 7
Przy uwzględnianiu odbić lustrzanych istnieje 8 różnych rozwiązań, z których każde ma po 2 powstałe poprzez zamianę miejscami cyfr 7 i 8.
Takich rozwiązań jest łącznie 2×8 = 16.
8 9 7 . . . . .| . . . . . 7 9 8 . . . . . . . . .7 9 8 . . . . .| . . . . .8 9 7
2 5 3 . . . . .| . . . . . 3 5 2 . . . . . . . . .2 5 3 . . . . .| . . . . .3 5 2
6 4 1 / . . . .| . . . .\ 1 4 6 . . . . . . . . .6 4 1 / . . . .| . . . .\ 1 4 6
. . . ./ 1 3 7 | 7 3 1 \ . . . . . . . . . . . . . . . ./ 1 3 8 | 8 3 1 \
. . . /. 4 5 9 | 9 5 4 . \ . . . . . . . . . . . . . . /. 4 5 9 | 9 5 4 . \
. . . . .6 2 8 | 8 2 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 7 | 7 2 6
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . oraz . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
. . . . .6 2 8 | 8 2 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 7 | 7 2 6
. . . \. 4 5 9 | 9 5 4 ./ . . . . . . . . . . . . . . .\. 4 5 9 | 9 5 4 ./
. . . .\ 1 3 7 | 7 3 1 / . . . . . . . . . . . . . . . .\ 1 3 8 | 8 3 1 /
6 4 1 \ . . . .| . . . ./ 1 4 6 . . . . . . . . .6 4 1 \ . . . .| . . . ./ 1 4 6
2 5 3 . . . . .| . . . . .3 5 2 . . . . . . . . .2 5 3 . . . . . | . . . . .3 5 2
8 9 7 . . . . .| . . . . .7 9 8 . . . . . . . . .7 9 8 . . . . . | . . . . .8 9 7
Takie rozwiązania dają następujący rządek cyfr 3,141592653589793 co jest rozwinięciem liczby pi do 15 miejsca po przecinku.
Panie Marku! Czy próbował Pan kiedyś podzielić 355 przez 133? Ja próbowałem. Pozdrowienia. Ryszard
Spróbowałem. Niesmaczne.
Dziękuję i pozdrawiam
mp
Rozwiązań (do 15 znaku po przecinku) jest chyba więcej niż pisze Piter
bo
314
592
867
Co do ułamkowych wyrażeń dla liczby PI. Jeżeli wykorzystamy wszystkie
cyfry to pi uda się tak przedstawić: 78946/25130 lub 79813/25406 do 4 miejsc po przecinku.
Antyp
3 1 4
5 9 2
8 6 7
A faktycznie istnieją jeszcze inne rozwiązania do 15 miejsc po przecinku jak się okazuje. Nie spodziewałem się, bo starałem się znaleźć jak najwięcej takich. Ale to wina tego, że kierowałem się zasadą wyliczania liczby sąsiadów każdej cyfry i przez to ustawianiu ich na odpowiednich miejscach. Rozwiązanie z 9 w środku także jest poprawne, a co przy odbijaniu i odwracaniu daje pewnie kolejnych 8 rozwiązań do mojego wyniku. Łącznie 24.
Pozdrawiam 🙂