Przeganianie dziurki

Czy szachownicę (8×8), z której usunięto dwa przeciwległe narożne pola leżące na tej samej przekątnej, można szczelnie pokryć kamieniami domina, zakładając, że każdy kamień zasłania dwa pola? To pytanie z długą brodą, klasyka wędrująca po zbiorkach łamigłówek od ponad półwiecza. Jej urok polega na sprytnym i prostym sposobie udowodnienia, że to niemożliwe. Dowodu nie będę przypominał, bo jeśli jakimś dziwnym trafem zdarzy się, że ktoś z moich gości go nie zna, to będzie okazja do pogłówkowania. Warto wspomnieć, że zadanie wymyślił pod koniec lat 40. nie byle kto – sam John von Neumann.

Zabaw dominowo-szachownicowych jest sporo. Ostatnio tkwię w grach typu wykładanka, polegających na umieszczaniu przez graczy na planszy na przemian po jednym kamieniu do momentu, aż ktoś (przegrywający) nie będzie mógł wykonać ruchu. Przy tej okazji trafiłem na ciekawą łamigłówkę podobną trochę do wspomnianej klasyki, ale, jak mi się wydaje, jeszcze bez zarostu.

Dysponujemy prostokątną szachownicą, a właściwie kratownicą lub kratkownicą o wymiarach mxn, gdzie m i n są nieparzyste. Pokrywamy ją kamieniami domina 1×2. Po wykorzystaniu (mn-1)/2 kamieni w pokryciu pozostanie „dziurka”, czyli jedna niezasłonięta kratka. Załóżmy, że znajdzie się ona w rogu planszy. Będzie do niej przylegał krótszym bokiem przynajmniej jeden kamień. Jeśli go przesuniemy, zasłaniając narożną dziurkę, to „przeskoczy” ona za przemieszczony kamień. Teraz możemy przesunąć kolejny kamień, „przeganiając” dziurkę na następne pole itd.

Czy komuś z Państwa uda się udowodnić – albo chociaż przedstawić pomysł na dowód – że postępując dalej w taki sposób można przegonić dziurkę w inny, dowolny róg planszy.
Znany mi dowód oparty jest na pomyśle równie sprytnym, jak klasyka von Neumanna, choć nie tak prostym.