Potęga potęg

Zdaniem Gaussa matematyka jest królową nauk, a królową matematyki jest teoria liczb. Można mieć wątpliwości do drugiej części tego stwierdzenia, ale wypada uznać, że na dworze teorii liczb pierwszeństwo należy się liczbom pierwszym, a o potędze dworu decydują między innymi potęgi. Spektakularnym przejawem potęgi potęg jest choćby wielkie twierdzenie Fermata, a w ostatnich latach także twierdzenia związane z ciągiem potęgowym, czyli złożonym z wszystkich liczb o wzorze ogólnym x^a, gdzie x i a to liczby całkowite dodatnie oraz a >= 2. Oto pierwsza setka:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1331, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1728, 1764, 1849, 1936, 2025, 2048, 2116, 2187, 2197, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2744, 2809, 2916, 3025, 3125, 3136, 3249, 3364, 3375, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 4913, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5832, 5929, 6084, 6241, 6400.

Ciąg jest oczywiście zdominowany przez kwadraty i sześciany. Inne potęgi, których wykładniki nie są wielokrotnością 2 ani 3, tkwią w nim jak rodzynki w cieście (wytłuszczone). Matematycy od dawna próbują doszukiwać się w tym nie kończącym się ogonku różnych prawidłowości, zwracając szczególną uwagę na różnice między kolejnymi liczbami.

W XVII wieku Fermat wysunął hipotezę, że 25 i 27 to jedyna para kwadrat-sześcian różniąca się o 2, po czym wyzwał dwóch uczonych angielskich (John Wallis, Kenelm Digby) na pojedynek polegający na znalezieniu dowodu twierdzenia sformułowanego nieco bardziej łamigłówkowo: 26 jest jedyną liczbą „wciśniętą” między kwadrat i sześcian. Formalnie należało wykazać, że równanie y^2 = x^3 – 2 ma tylko jedno rozwiązanie dla liczb całkowitych dodatnich: 5^2 = 3^3 – 2. Sprytny Fermat nie mógł przegrać, gdyż trudny, wieloetapowy dowód przygotował sobie wcześniej. Koniec końców zapewniło mu to zwycięstwo, bo Anglicy poddali się.

Czy słuszna jest także szersza hipoteza, że 26 to jedyna liczba wciśnięta miedzy dwie potęgi? Nie ma co do tego pewności i pewnie jeszcze długo nie będzie. W roku 2002 rumuński matematyk Pred Mihăilescu udowodnił bliźniaczą hipotezę z roku 1844, zwaną przypuszczeniem Catalana: 8 i 9 to jedyna para potęg, które są do siebie przytulone, czyli niczego między nie nie wciśnięto, nic ich nie dzieli. Inaczej mówiąc: jedynym rozwiązaniem równania x^a – y^b = 1 jest 3^2 – 2^3 = 1.

Po wzmiankach o dowodach ekstremalnie trudnych pora na zadanie potęgowe ekstremalnie rozrywkowe.

Z okazji nieokrągłej n-tej rocznicy szaleństwa pewien zwariowany matematyk wydał bankiet, na który zaprosił n znajomych. Program bankietu obfitował w odjazdowe pomysły, a wstęp mieli tylko ci, którzy na zaproszeniu wpisali liczbę równą n^15 obliczoną… ręcznie. Liczenie „na piechotę” miało być wykonane w obecności notariusza i poświadczone przez niego stemplem i podpisem umieszczonymi na zaproszeniu pod wynikiem. Wbrew pozorom rachowanie nie było zbyt żmudne. Wystarczyło wykonać pięć działań: n x n, n^2 x n^2, n^4 x n^4, n^8 x n^8, n^16 : n. Na bankiecie było więc tłumnie, a szalonego matematyka zirytował nadmiar gości i postanowił radykalnie zaostrzyć kryteria wstępu w kolejnym roku. Zarządził, aby na zaproszeniu pojawiła się liczba (n+1)^1000. Normalniejsi koledzy z trudem mu wyperswadowali, że w takiej sytuacji na bankiet nie dostanie się nikt, choćby dlatego, że „wejściówka” będzie długim zwojem zapisanym cyframi, a sprawdzenie, czy liczba jest właściwa, zajmie więcej czasu, niż bankiet. Zaproponowali, aby na zaproszeniu wpisywać liczbę określającą, ile co najmniej działań należy wykonać, aby obliczyć wartość (n+1)^1000. Zwariowany matematyk przystał na to.

Jaką liczbę wpisaliby Państwo, aby mieć zapewnione bankietowanie?