Sofimetria

Od bardzo dawna ludzkość tkwi w wielu tzw. mylnych błędach przekazywanych z pokolenia na pokolenie. Co gorsza niektóre z nich dotyczą podstaw nauk ścisłych i wpajane są dzieciom w szkołach. Jednym z tych, które należałoby czym prędzej poprawić, jest wzór na powierzchnię kuli. Nawet nie będę przypominał tej żałosnej gafy powielanej w podręcznikach do geometrii. Podam od razu, jak być powinno:
S = pi^2*R^2,
a nawet udowodnię.

 Kula_1.jpg

Weźmy półkulę o promieniu R, zaznaczmy biegun (N) i podzielmy równik na n bardzo małych, ale równych części. Z kolei oznaczmy na półkuli wąski mini-trójkąt o podstawie AB umieszczonej na równiku i równej długości jednej z tych n części oraz o wierzchołku na biegunie N. Podstawa tego trójkąta będzie oczywiście równa 2pi*R/n, wysokość pi*R/2 (ćwiartka obwodu), czyli pole powierzchni wyniesie pi^2*R^2/2n. Powierzchnia półkuli będzie równa sumie powierzchni tych wąskich trójkącików, czyli pi^2*R^2/2, zaś powierzchnia kuli będzie dwa razy większa, a więc wyniesie pi^2*R^2.
Mam nadzieję, że Wysoka Komisja doprowadzi wreszcie do zmian w encyklopediach i podręcznikach, a ja tymczasem zajmę się owcami.

Najładniejszy z poprawnych dowodów to ten, który jest krótko, zwięźle i jasno sformułowany oraz ewentualnie sprytny. W związku z tym spośród nadesłanych rozwiązań zadania o rozkułaczaniu górali-owczarzy do nagrody zostali nominowani autorzy dowodów najbliższych następującemu, który udało mi się zmieścić w jednym zdaniu złożonym:

Skoro liczba wszystkich owiec równa jest 128, czyli jest siedmiokrotnie ;-) parzysta, to po pierwszym rozkułaczeniu każdy góral będzie miał liczbę owiec podzielną przez dwa, po drugim – podzielną przez 4, po trzecim – przez 8, a po n-tym – przez 2^n; zatem po siódmym (2^7 = 128) wszystkie owce trafią do jednego górala.

Operowanie konkretnym przykładem, zwykle sprowadzającym się do sytuacji początkowej {1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}, trudno uznać za dowód. To raczej rozwiązanie innego zadania, polegającego na ustaleniu, ilu było co najwyżej górali z owcami, jeśli nastąpiło siedem „transferów”.

Zwycięzcą (wylosowanym) został maczek. Laureata proszę o kontakt pod adresem m.penszko@polityka.com.pl w celu ustalenia sposobu przekazania nagrody. Jest nią owczywiście gra „Owczy pęd” ufundowana przez wydawnictwo Egmont.

Zapraszam do następnych konkursów. Kolejny niebawem.