Gra w mrówki

Kto miał lub ma w domu mrówki, ten wie, że niełatwo się ich pozbyć. Od niedawna podobne zagrożenie pojawiło się w Łamiblogu, do którego nieopatrznie wpuściłem rój formica aenigmistica. Mam nadzieję, że już niedługo zabawią, a sytuacja nie wymknie się spod kontroli, czyli mrówki nie pójdą w ślady Krzyżaków sprowadzonych przez Konrada Mazowieckiego. Tymczasem przypominam zadanie sprzed dwóch tygodni, które wówczas przytoczyłem niejako przy okazji.

Na wielościanie wypukłym znajduje się tyle mrówek, co ścian. Każda ściana należy do jednej mrówki i każda z nich cały czas wędruje po krawędzi wokół swojej ściany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przemieszczając się w ciągu godziny o co najmniej 1 milimetr. Należy dowieść, że po pewnym czasie jakieś dwie mrówki na pewno się spotkają.

Ku mojemu miłemu zaskoczeniu kilka tęgich głów spróbowało się z tym uporać. Z dowodami jest jednak sprawa równie trudna, jak z namolnymi mrówkami. Najlepszym przykładem są rygory dotyczące uznania za poprawne rozwiązań tzw. problemów milenijnych. Szacowne grono matematycznych autorytetów ma dwa lata na ustalenie, czy zgłoszony dowód, stanowiący rozwiązanie problemu, jest pod każdym względem bez zarzutu i delikwentowi należy się milion dolarów.
Czytając dowód (komentarz z 27 marca) nadesłany przez spiritus movens Łamiblogu Andrzeja69, poczułem się trochę tak, jakbym należał do szacownego grona. Poczucie megalomańskie i całkiem bezzasadne, bo matematycznych papierów nie posiadam, zresztą łamigłówkowych też nie. Mimo to ośmielę się wyrazić opinię na temat wspomnianego dowodu. Bardzo proszę Panie Andrzeju o potraktowanie formy poniższych uwag z przymrużeniem oka – zwłaszcza w dniu tego wpisu.

Dowód jest bardzo śmiały. Przeprowadzając go autor dokonuje tak radykalnych modyfikacji sytuacji wyjściowej, że przydałyby się dodatkowe dowody w celu wykazania, że proponowane zmiany nie wpływają na poprawność dowodu głównego. Największe wrażenie zrobiły na mnie wstęp i zakończenie. Mam na myśli uwagę poddającą w wątpliwość potrzebę informacji o minimalnym dystansie pokonywanym przez mrówki w ciągu godziny oraz oparcie dowodu na „spodzie” wielościanu. Z oparcia wynika, że gdyby pozbawić wielościan spodniej ścianki, to spotkania mrówek można by uniknąć. Otóż nie w tym rzecz, to znaczy nie spód warunkuje nieuchronność spotkania.
Początkowo zamierzałem przedstawić dowód, ale przyszedł mi do głowy pomysł pewnej prostej gry dla jednej osoby (w rodzaju klasycznego samotnika), która ten dowód nieco przybliża. Jeśli nikt nie skorzysta z gry-podpowiedzi, to doprowadzę temat do końca w jednym z najbliższych wpisów.

Załóżmy, że z wielościanu usunięto jedną ścianę, np. spód ;-), pozostałe „rozpłaszczono”, a na bokach-krawędziach dorysowano pola gry – małe kółeczka, po jednym na każdym boku. Na tych polach umieszczamy zamiast mrówek pionki tak, by na obwodzie każdego wieloboku znalazł się dokładnie jeden pionek do tego wieloboku przypisany (taka sama litera na wieloboku i odpowiadającym mu pionku). Ponadto pionki rozmieszczone są w pewien „sprytny” sposób, ale szczegółów nie ujawnię, bo wówczas do dowodu byłoby zbyt blisko. Sytuacja wygląda jak na poniższym rysunku.

Grawm_1.JPG 

Ruch polega na przesunięciu pionka po obwodzie odpowiadającego mu wieloboku o dowolną liczbę pustych pól zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zabawa jest wieloetapowa – w każdym etapie należy wykonać dziesięć ruchów różnymi pionkami. Im więcej etapów uda się pokonać, tym lepszy wynik. Jaka może być maksymalna liczba etapów przy takim jak na rysunku „sprytnym” początkowym rozmieszczeniu pionków? Wydaje się, że nie jest to liczba oszałamiająca.

Pora na wyniki SET!-konkursu zamieszczonego w poprzednim wpisie. Wszyscy uczestnicy zabawy nadesłali poprawne rozwiązanie (3-5-6), choć szukanie setów wśród 18 samochodów było dość żmudne. Nagrodę, grę SET! wylosował Andrzej69. Fundatorem nagrody jest hurtownia gier Rost.
Laureata proszę o kontakt pod adresem m.penszko@polityka.com.pl w celu ustalenia sposobu postawienia SET-y ;-).