Nie tylko płytki

Przed miesiącem z premedytacją zamieściłem tu zadanie nie mające rozwiązania.

Z płytek 1×2 ułożony był kwadrat 6×6.

plyt_1.JPG 

Płytki należało poprzekładać tak, aby ich brzegi nie tworzyły wewnątrz kwadratu prostego odcinka łączącego boki, jak na przykład czerwony na rysunku. Rozwiązaniem było więc ustalenie, że nie ma rozwiązania. Kilka osób podało usprawiedliwienia, czyli dowody tej nieobecności.

Przyznam się, że początkowo podstępu nie planowałem, czyli przekładanka miała być typowa, z figurą o innych wymiarach. Nie poradziłem sobie jednak wówczas z ułożeniem takiego zadania, które nie byłoby bardzo proste lub wręcz trywialne. Czy mi się to teraz udało, pozostawiam Państwa ocenie.

plyt_2.jpg 

Ile co najmniej płytek trzeba przełożyć, aby zlikwidować linię prostą biegnącą krawędziami kilku płytek od boku do boku prostokąta (oznaczona kolorem), nie tworząc przy tym innej takiej linii, czyli dzielącej prostokąt 5×6 na dwa mniejsze.

Powróćmy teraz do parkieciarzy sprzed miesiąca, którzy tym razem mają do wykonania nieco inne zadanie.

plyt_3.jpg 

Powinni wyłożyć pomieszczenie 5×8 płytkami 1×1 i 1×2. Szef zadysponował, by użyć jak najwięcej płytek 1×1, ale by płytki te nigdzie nie stykały się bokami.
Jaką maksymalną liczbę płytek 1×1 mogą wykorzystać rzemieślnicy i jakie może być ich (tzn. płytek, a nie rzemieślników) przykładowe rozmieszczenie
?

A na deser urodzinowy drobiazg, bo Łamiblogowi niedawno stuknął roczek.

plyt_4.jpg 

Objaśnienie jest, jak sądzę, zbędne, a zalecany sposób rozwiązywania – „na piechotę”, żeby główka pracowała. Nie wiadomo tylko, czy całemu organizmowi starczy wytrwałości i cierpliwości. Ile jest rozwiązań – to także zagadka (nie znam rozwiązania).