Prace domowe
Kilka dni temu za pośrednictwem pewnej redakcji trafił do mnie mail, który pozwolę sobie zacytować prawie w całości.
Jestem Państwa stałym czytelnikiem i z przyjemnością czytam większość artykułów. Ostatnio zainteresowała mnie rubryka z pytaniami od czytelników. Po lekturze tych listów doszedłem do wniosku, że i ja mogę zgłosić Wam swoje pytanie. Nasunęło mi się ono podczas wieszania firanek.
Zazwyczaj wieszam firanę na pierwszej i ostatniej żabce i dzielę pozostałą ilość żabek na dwie równe części. Jeżeli liczba tych żabek jest nieparzysta to na środkową przypinam firanę i powtarzam tę czynność dla pozostałych dwu części. Sprawa jest prosta, jeśli kolejne części mają nieparzystą ilość żabek. Tu właśnie rodzi się moje pytanie.
Czy istnieje wzór na znalezienie takich liczb całkowitych nieparzystych, które po odjęciu 1 i podzieleniu na 2 dają w każdym kolejnym działaniu liczbę nieparzystą?
LN= n x (LN-1)/2
gdzie:
LN – liczba całkowita nieparzysta
n – liczba powtórzeń
Zacytowałem ten mail nie po to, aby sobie dworować z nadawcy, że na przykład nie uważał na lekcjach matematyki, gdy mowa była o ciągach, albo że podany wzór jest, oględnie mówiąc, nieco osobliwy. Przeciwnie, uważam, że tekst stanowi piękny przykład: po pierwsze – czegoś, co nazwałbym matematyczną ciekawością świata, a po drugie – łamigłówki prosto z życia, czyli, jak mówią Anglicy, real puzzle. Przykład idealny, bo zrodzony z rzeczywistej, życiowej potrzeby, a nie powstały jako abstrakcyjny, a potem wciśnięty w jakąś fabułkę, jak chociażby wiele zadań w podręcznikach szkolnych.
Czy zadanie jest proste? Zależy dla kogo. Z pewnością dla niektórych wręcz trywialne, ale podejrzewam, że sporo osób miało by z nim mały zgryz. Potrzeba jednak odrobiny sprytu, aby wpaść na to, od której strony najwygodniej się za nie zabrać. Kto ma ochotę, tego zapraszam do zabrania się, a ja tymczasem przedstawię inną realną łamigłówkę, choć w porównaniu z powyższą jednak niby-realną.
Dwaj parkieciarze wyłożyli klepkami 1×2 małe kwadratowe pomieszczenie. Szef kazał im układać klepki jak popadnie, bo właściciel lubi chaos, a wszelką symetrię uważa za „estetykę idiotów”. Efekt był taki, jak na rysunku.
Po skończeniu pracy przyszedł właściciel i skrzywił się:
– No nie, panowie, tak nie może zostać – rzekł, wskazując na linię oznaczoną na rysunku strzałką. – Przecież mówiłem, a może i nie mówiłem, żeby brzegi klepek nigdzie nie tworzyły linii prostej od ściany do ściany, dzielącej parkiet na dwa prostokąty.
– Właśnie – wtrącił szef – schrzaniliście robotę, zrywać mi to wszystko i układać jeszcze raz. A jak nie będzie gotowe za pół godziny, to możecie od jutra szukać sobie nowej pracy.
Właściciel z szefem wyszli, a dwaj robotnicy zaczęli się zastanawiać, czy trzeba zrywać wszystkie klepki, czy wystarczy tylko niektóre z nich.
Załóżmy, że:
– zerwanie jednej klepki trwa 15 sekund, a ponowne przyklejenie minutę i 25 sekund (czas na inne czynności i ewentualne przerwy w pracy pomijamy),
– robotnikom udało się ustalić, jaką najmniejszą liczbę klepek powinni przełożyć, aby właściciel był kontent, a ustalenie tego zajęło im dwukrotnie mniej czasu niż późniejsza praca.
Czy wobec tego, jeżeli szef dotrzymał słowa, parkieciarze zostali zwolnieni, czy nie?
PS W zacytowanym na wstępie mailu pojawia się regionalizm „firana”. Czy można stąd wywnioskować, z jakiego regionu pochodzi nadawca maila?
Komentarze
Zadanie z firankami : ilość żabek=2^n – 1; dle n>1;
czyli dla n=2, 3, 4, 5, 6, 7………….
Do Wiąza:
Zapomniałeś o dwóch skrajnych żabkach, które mocujemy na początku.
Także moim zdaniem, wzór na całkowitą ilość żabek to potęga dwójki PLUS 1.
Przykład dla 17 żabek, czyli 2^4+1 (nie wiem tylko, czy się nie rozjedzie):
. . .
. .
. . . .
. . . . . . . .
Jeśli chodzi o słowo „firana”, to może i na dłuższą metę pochodzi ono z jakiegoś konkretnego regionu (tego nie wiem – nie jestem językoznawcą), ale wg mnie jest ono od dawna używane w środowiskach branżowych. Także jeśli chodzi o nadawcę e-maila to obstawiałbym nie tyle miejsce jego pochodzenia (w sensie geograficznym), ile na to, że jest związany zawodowo np. z produkcją lub handlem tkaninami.
Pozdrawiam.
AB
No niestety – spacje „wcięło” :-(.
Ale może teraz się uda:
,…….,…….,
….,…….,….
..,…,…,…,..
.,.,.,.,.,.,.,.,.
Pozdrawiam.
AB
Ech… jak nie urok, to przemarsz wojska 🙁 🙁 :-(.
Oczywiście musiało się rozjechać.
Ale chyba każdy się domyśli, jak to miało wyglądać
(rysunek pokazuje kolejność wieszania żabek).
Pozdrawiam.
AB
Jeśli dobrze zrozumiałem zagadkę z parkietem, to wydaje mi się, że to pracownicy wyrzucili szefa z właścicielem 😉 – za to, że dają im do roboty zadania niewykonalne. Na razie nie mam jeszcze na to dowodu matematycznego, ale poprzez analizę wariantów już widać, że to nie ma prawa się udać (tzn. żeby nie było chociaż jednej linii prostej od ściany do ściany).
Pozdrawiam.
AB
Rozwiązanie „firanki” puściłem, ale komentarze z rozwiązaniem parkietu potrzymam dni parę, żeby nie psuć zabawy.
mp
Niestety, nie wróżę niczego dobrego nieszczęsnym parkieciarzom. Nie da się ułożyć tych klepek w taki sposób, jak sobie życzy zleceniodawca. Zawsze będzie istniało połączenie w postaci linii prostej biegnącej od jednej ściany do drugiej.
Swoją drogą chciałbym podziękować Panu Markowi za wspaniałą książeczkę „Domino”, do której wciąż z zainteresowaniem zaglądam, choć ma już chyba ponad 25 lat i ledwie się trzyma kupy.
Myślę, że mogą zerwać np. dwie poziome klepki położone na samym dole. Jedną z nich przykleić na środku powstałej luki, drugą przeciąć na połowy i przykleić po obu jej stronach.
Chciałbym przedstawić dowód na brak możliwości uniknięcia prostej linii od ściany do ściany, który przyszedł mi do głowy podczas sobotniego wieszania firanek (autentycznie! 🙂 ). W końcu jeśli nie trzeba już myśleć o rozmieszczeniu żabek, to można rozliczać klepki parkietowe. Co prawda usłyszałem od żony, żebym ich tak nie liczył, bo piątej i tak mi brakuje, ale mimo to udało się.
A dowód jest bardzo prosty:
Aby nie dopuścić do powstania linii musimy ułożyć w poprzek niej klepkę, ale w praktyce to przynajmniej dwie (musi być to liczba parzysta, gdyż w przeciwnym przypadku po obu stronach tej linii otrzymalibyśmy nieparzystą liczbę pól do przykrycia). Mamy 18 klepek, tak więc możemy w ten sposób przeszkodzić w powstaniu co najwyżej 9 linii. A potencjalnych miejsc jest 10 (5 poziomo i 5 pionowo). Tak więc przynajmniej jedna linia zawsze powstanie.
Na miejscu szefa to po udowodnieniu właścicielowi niewykonalności jego zadania, zaproponowałbym użycie mniejszej klepki (kwadrat 8×8 układa się bez problemu). Może wtedy byłby skłonny sięgnąć głębiej do portfela? 😉
Pozdrawiam.
AB
Jestem pewien, że parkieciarze nie zdążą w pół godziny uporać się z tym zadaniem. Możliwy dalszy scenariusz jest taki, że wyjeżdzają do roboty do Anglii, bo ich szef przyjmuje głupie , awykonalne zlecenia .
Dowód przez sprzeczność :
Załóżmy, że wszystkie pola parkietu są wypełnione przez klepki 2×1 oraz wszystkie 10 siecznych , które mogłyby podzielić parkiet na dwa prostokąty (5 siecznych poziomych i 5 pionowych) jest zablokowanych klepkami .
Układając parkiet od lewej strony, potrzebujemy w pierwszej kolumnie parkietu przynajmniej jednej poziomej klepki (aby zablokować pierwszą pionową sieczną), ale ponieważ wszystkie 6 pól kolumny musi być wypełnione klepkami, a klepki ułożone pionowo wypełniają parzystą liczbę pól (2), zatem klepek poziomych też musi być parzysta ilość – czyli co najmniej dwie. W drugiej kolumnie mamy parzystą ilość klepek poziomych z kolumn 1-2, nieznaną ilość klepek pionowych i tym samym tokiem myślenia – parzystą ilość klepek poziomych z kolumn 2-3 , ale co najmniej dwie (aby zablokować drugą sieczną pionową)… itd
Obracając parkiet o 90 stopni i powtarzając rozumowanie okazuje się, że do zablokowania wszystkich siecznych potrzebujemy minimum 20 klepek!
A przecież cały parkiet składa się tylko z 18-tu . Dochodzimy do sprzeczności .
Zadanie jest nieco frustrujące, bo poniekąd sugeruje, że dwaj parkieciarze uporali się z problemem i to prawdopodobnie przed upływem 10-ciu minut, a tu nijak nie można sobie z tym poradzić.
Jeżeli chodzi o „firany”, to chyba mail nie jest ze Śląska, bo tutaj wiszą „gardiny” 🙂
Pozdrowienia
Witam.
Zdaję sobie sprawę, że piszę po czasie, ale w trakcie analizowania zadania o parkieciarzach (i dojściu do wniosku, że nie jest możliwe ułożenie parkietu w taki sposób aby nie powstała żadna linia prosta od ściany do ściany) przyszła mi na myśl pewna koncepcja (zapewne absurdalna). Chodzi o to, że być może właścicielowi chodzi o to, aby nie powstały DWA prostokąty tej samej wielkości, ale mogą być np. TRZY o różnej szerokości. Gdyby takie rozwiązanie spełniło oczekiwania inwestora, to wystarczy np. obrócić o 90 stopni dwie klepki w prawym górnym rogu i już (wzorek nie będzie zbyt piękny, ale co tam :)).
Jeśli chodzi o regionalizm „firana”, to stawiałbym na Małopolskę (choć biorąc pod uwagę niemieckie pochodzenie wyrazu, może być też używane np. na Pomorzu Zachodnim).
Pozdrawiam
Piotr
@Alek: no tak, u nas na sląsku mowi sie „gardina” ale firana rownież. Nie wiedzialem ze to w ogole jest regionalizm 😐 Myslalem ze „gardina” oznacza wlasnie „firana” co jest normalnym wyrazem. Teraz na mysl przychodzi mi „zaslona” 🙂 wynika z tego ze na sląsku mowi się i gardina i firana.
Do Limaka (Kamila ?) : Na firankę na pewno mówi się gardina . Pamiętam , że gdy firanka była poszarzała to padało hasło „ta gardina to by trza wyblajchować ” . U nas na zasłony mówiło się story , ale również gardiny , tylko dodawało się dalszą charakterystykę , żeby było wiadomo o które chodzi , np. ” te gardiny po bokach w kfiotki ” . A zatem gardina mogła funkcjonować i jako firanka , i jako zasłona .
Pozdrowienia
Alek
@Alek: Masz rację 🙂 „gardina” to i firanka i zasłona.
p.s: tak, jak słusznie zauważyłeś, mam na imię Kamil (być może sprawdziłeś to na moim blogu, ale jeśli domyśliłeś się z ksywki to gratuluję – nie wiele osób na to wpada, pomimo tak prostej konstrukcji 😉
Pozdawiam 🙂