Książę i krokodyl

Zamieszczone w poprzednim wpisie zadanie o kozie na okrągłym pastwisku jest łamigłówką niełatwą i zwodniczą, o ile w ogóle można je nazwać łamigłówką. Byłoby nią bez wątpienia, gdyby miało jakieś zamaskowane, proste rozwiązanie, którego znalezienie wymagałoby wykazania się sprytem i inteligencją. Tymczasem takowego najprawdopodobniej nie ma, wymaga natomiast dość kłopotliwych i długich obliczeń oraz wiedzy matematycznej nieco wykraczającej poza podstawy, które większość osób pamięta ze szkoły. Z drugiej jednak strony dotyczy zabawnej i na pierwszy rzut oka złudnie prostej do rozgryzienia sytuacji, a tym samym kojarzy się z łamigłówkami i wzbudza zainteresowanie. Czy równie zwodnicze jest poniższe zadanie o bohaterze głośnej książki Saint-Exupéry’ego?

W trakcie podróży międzyplanetoidalnych Mały Książę dotarł do miniaturowej, kulistej planetki typu balloon – o gładkiej, jednorodnej i nieskończenie rozciągliwej powierzchni. Jej średnica wynosiła 100 metrów. Książę postanowił obejść ją po wielkim kole, czyli po równiku. Zajęłoby mu to zapewne kilka minut, jednak w momencie, gdy ruszył w drogę, obiekt zaczął rosnąć równomiernie we wszystkich kierunkach – tak, jakby był nadmuchiwany. Książę szedł ze stałą prędkością 1m/s, a średnica planetoidy-balonu zwiększała się skokowo co sekundę o 100 metrów. Czy gdyby taka wędrówka po zwiększającym się obiekcie mogła trwać nieskończenie długo, to Mały Książę zdążyłby go okrążyć i dotrzeć do punktu wyjścia zanim obiekt osiągnąłby rozmiary Ziemi?

Wydaje się, że wcześniej warto zastanowić się nad prostszym pytaniem: czy Książę w tych warunkach w ogóle dojdzie do punktu wyjścia? Inaczej mówiąc, czy w trakcie wędrówki po równiku dystans do mety (znajdującej się w punkcie startu) nie będzie się przypadkiem stale zwiększał. Przy tej okazji może się ujawnić łamigłówkowy charakter zadania. Będzie tak wówczas, jeśli równocześnie okaże się możliwe wyciągnięcie wniosku stanowiącego odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie, czyli rozwiązując prostsze zagadnienie, uzyskamy jakby przy okazji odpowiedź na trudniejsze.

Zapewne bliższy koziej zagadki, a więc znacznie bardziej zawiły, byłby natomiast następujący problem: o ile metrów na sekundę powinna zwiększać się średnica kulistego obiektu, aby Książę, idąc po równiku z prędkością 1m/s, dotarł do punktu wyjścia w momencie, gdy obiekt osiągnąłby rozmiary Ziemi?

rys.JPG

Na koniec krótkiej Łamiblogowej wycieczki w rejony nieco podwyższonej matematyki proponuję chwilę relaksu przy twierdzeniu o krokodylu, które brzmi następująco: krokodyl jest bardziej długi niż szeroki. To oczywiste? Być może, ale nie dla matematyka. Konieczny jest dowód. Oto on.

Najpierw dowiedziemy, że krokodyl jest bardziej długi niż zielony. W tym celu spójrzmy na krokodyla z góry. Jest tak długi, jak zielony. Teraz popatrzmy od spodu. Jest długi, ale nie wszędzie zielony, bo brzuch ma białawy. A zatem w sumie jest bardziej długi, niż zielony.

Następnie udowodnimy, że krokodyl jest bardziej zielony, niż szeroki. Popatrzmy nań ogólnie – jest zielony i wzdłuż i wszerz, natomiast szeroki jest tylko wszerz, a więc zielony jest bardziej.

Jeśli zatem krokodyl jest bardziej długi niż zielony oraz bardziej zielony niż szeroki, to stąd wynika, że jest bardziej długi, niż szeroki, cnd.